1.2 일차함수와 그래프 · Ⅳ-1. 일차함수와 그 그래프

HOOK · 시작 질문

$y = 2x + 3$을 그림으로 그리면?

A linear function becomes a line on the coordinate plane.

A LITTLE EXPLORATION

$y = 2x + 3$을 만족하는 $(x, y)$들을 좌표평면 위에 찍어 보자.

$x = -2$일 때 $y = -1$. $x = 0$일 때 $y = 3$. $x = 1$일 때 $y = 5$. 이 점들을 찍으면 모두 일직선 위에 놓입니다.

사실은 $x$가 어떤 실수이든 그에 대응하는 점 $(x, 2x+3)$이 모두 같은 직선 위에 있습니다. 이것이 일차함수 그래프의 신비입니다 — $y = ax + b$ 꼴 함수의 그래프는 언제나 직선.

이 차시에서는 일차함수의 정의를 명확히 하고, 그 그래프가 왜 직선인지 살펴봅니다. 또한 $y = ax + b$의 그래프가 $y = ax$의 그래프를 평행이동한 것임을 발견합니다.

DEFINITION · 정의

일차함수란 무엇인가?

A function expressed as $y = ax + b$.

DEFINITION OF LINEAR FUNCTION

일차함수의 정의

$y = ax + b$

$a, b$는 상수, $a \ne 0$

$y$가 $x$의 일차식으로 나타내어지는 함수를 일차함수라 합니다. $a$는 $x$의 계수, $b$는 상수항. 중요한 조건은 $a \ne 0$ — $a = 0$이면 $y = b$로 상수함수가 되어 일차함수가 아닙니다.

일차함수의 예: $y = 2x + 1$, $y = -3x + 5$, $y = \dfrac{1}{2} x - 2$, $y = -x$, $y = 4x + 1$ 등.

일차함수가 아닌 예: $y = x^2$ (이차식), $y = \dfrac{1}{x}$ (분수식), $y = 5$ (상수함수), $y = 2x^2 + 1$ (이차식).

GRAPH · 그래프

$y = ax + b$의 그래프는 직선

Every linear function corresponds to a line on the plane.

먼저 가장 간단한 일차함수 $y = ax$ (즉 $b = 0$)의 그래프를 살펴봅시다.

$y = 2x$의 그래프

원점 $(0, 0)$을 지나는 직선. $x$가 증가하면 $y$도 일정한 비율로 증가합니다.

x = -1 → y = -2
x = 0 → y = 0
x = 1 → y = 2
x = 2 → y = 4

PARALLEL TRANSLATION · 평행이동

$y = ax + b$는 $y = ax$의 평행이동

The graph of $y = ax + b$ is the graph of $y = ax$ shifted up by $b$.

두 그래프의 관계

$y = ax$의 그래프 위의 한 점 $(x, ax)$를 $y$축 방향으로 $b$만큼 평행이동하면 $(x, ax + b)$. 이 점은 $y = ax + b$의 그래프 위에 있습니다!

$y = ax$ → $y$축 방향으로 $+b$만큼 평행이동

$y = ax + b$ = $y = ax$를 위로 $b$ 평행이동 (단, $b<0$이면 아래로)

핵심: $a$가 같으면 두 직선은 평행. 같은 기울기, 다른 $y$절편.

$y = 2x$ vs $y = 2x + 3$

두 직선은 같은 기울기 $2$를 가지므로 평행합니다. $y = 2x + 3$의 그래프는 $y = 2x$를 위로 $3$만큼 평행이동한 것.

두 직선은 영원히 만나지 않습니다.

INTERACTIVE · 그래프 보기

그래프 탐색기

Click each function to see its graph instantly.

LINEAR FUNCTION GRAPHER

일차함수의 그래프

아래 일차함수를 클릭하면 그 그래프가 좌표평면에 그려집니다.

QUICK CHECK · 빠른 확인

바로 확인하기

5 quick warm-ups.

QC-01 · 일차함수 판별

$y = 2x + 1$은 일차함수인가?

▼ 클릭하여 답 보기

$y = ax + b$ 꼴이고 $a = 2 \ne 0$. ▶ 일차함수이다.

QC-02 · 비일차함수

$y = x^2 + 1$은 일차함수인가?

▼ 클릭하여 답 보기

$x^2$이 있어 이차식. ▶ 일차함수가 아니다.

QC-03 · 함숫값

$y = 3x - 2$일 때 $x = 4$이면 $y$는?

▼ 클릭하여 답 보기

$y = 3(4) - 2 = \mathbf{10}$.

QC-04 · 평행이동

$y = 2x$를 $y$축 방향으로 $5$ 평행이동한 식은?

▼ 클릭하여 답 보기

$y = 2x + 5$.

QC-05 · 점 통과

$y = -x + 5$의 그래프가 $(a, 1)$을 지나면 $a$는?

▼ 클릭하여 답 보기

$1 = -a + 5$ → $a = \mathbf{4}$.

WORKED EXAMPLES · 예제

함께 풀어보기

Two examples — coefficient determination and parallel translation.

EXAMPLE 01

점을 지나는 조건

일차함수 $y = ax + 1$의 그래프가 점 $(2, 5)$를 지날 때, $a$의 값을 구하시오.

1

점이 직선 위에 있다는 것은 $x, y$를 대입했을 때 식이 성립한다는 뜻.

2

$x = 2, y = 5$ 대입: $5 = a \times 2 + 1$ → $5 = 2a + 1$.

3

$2a = 4$ → $a = 2$.

▶ 답: $a = 2$

EXAMPLE 02

평행이동으로 식 구하기

$y = 2x$의 그래프를 $y$축 방향으로 $-3$만큼 평행이동한 그래프의 식을 구하시오.

1

$y$축 방향으로 $b$만큼 평행이동하면 $y = ax + b$.

2

$b = -3$이므로 $y = 2x + (-3) = 2x - 3$.

▶ 답: $y = 2x - 3$

PRACTICE · 연습 문제

스스로 풀어보기

8 problems graded by difficulty.

P-01

★ 일차함수 판별

다음 중 일차함수인 것은?

SOLUTION

① $y = ax + b$ ($a=2, b=1$) — 일차함수 ✓

② 이차식. ③ 분수식. ④ 상수함수. ⑤ $y = 6/x$로 분수식.

P-02

★ 함숫값

$y = 3x - 2$에서 $x = 4$일 때 $y$의 값은? (답: 숫자만)

SOLUTION

$y = 3(4) - 2 = 10$.

P-03

★ 음수 계수

$y = -x + 5$에서 $x = 3$일 때 $y$의 값은? (답: 숫자만)

SOLUTION

$y = -3 + 5 = 2$.

P-04

★★ 점 통과

$y = ax + 1$이 점 $(2, 5)$를 지날 때 $a$의 값은? (답: 숫자만)

SOLUTION

$5 = 2a + 1$ → $a = 2$.

P-05

★★ 평행이동

$y = 2x$를 $y$축 방향으로 $-3$만큼 평행이동한 그래프의 식은? (형식: y=2x-3)

SOLUTION

$y = 2x + (-3) = 2x - 3$.

P-06

★★ 미지의 $x$

$y = -x + 4$의 그래프가 점 $(a, 1)$을 지날 때 $a$의 값은? (답: 숫자만)

SOLUTION

$1 = -a + 4$ → $a = 3$.

P-07

★★★ $y$축 교점

$y = 3x - 6$의 그래프와 $y$축의 교점의 $y$좌표는? (답: 숫자만)

SOLUTION

$y$축 위의 점은 $x = 0$. $y = 3(0) - 6 = -6$. 교점 $(0, -6)$.

P-08

★★★ 미지의 $b$

$y = 2x + b$의 그래프가 $(1, 5)$를 지날 때 $b$의 값은? (답: 숫자만)

SOLUTION

$5 = 2 + b$ → $b = 3$.

LESSON 1.2 · WRAP-UP

한 줄로 정리하면

일차함수 $y = ax + b$ ($a \ne 0$)의 그래프는 직선입니다. $y = ax$의 그래프를 $y$축 방향으로 $b$만큼 평행이동한 것이지요. 점이 직선 위에 있는지 확인하려면 그 점의 좌표를 식에 대입해 보면 됩니다. 다음 차시에서는 직선의 두 핵심 정보 — 기울기와 절편을 자세히 다룹니다.